有序偶的集合术语定义¶
2024/09/25
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命题：有序偶 \((a,b)\) 可以使用集合术语定义为 \(\{\{a\},\{a,b\}\}\)
此命题为真。对于如何理解这种定义，我认为没办法从“有序”这个概念的本意出发。因为对于集合而言，其元素都是无序的。我们只能等效一个条件，然后证明该条件被满足。
由此，该条件一般称为：只有在两个序偶每一对对应元素都相等时，它们才相等——或者写作：(a,b)=(c,d) iff (a=c) and (b=d)。即对于元命题，须证：{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}成立的充分必要条件为a=c且b=d。（证明过程略）
或者：
断言如下：
序偶与集合的唯一区别在于：使用序偶封装的两个元素(a,b)≠(b,a)，而集合{a,b}={b,a}。若断言为真：
α.则当使用某种复杂集合表示法（例如嵌套集合）封装的两个元素会因为元素顺序不同而不等时，则认为此“复合集合表示”是有序的。即为等价于序偶(a,b)的。
我们可以看到，虽然{{a},{a,b}}和{{b},{b,a}}中的元素{a,b}={b,a}，但由于{a}≠{b}，所以使用{{a},{a,b}}这种复合序列表示法封装的两个不同顺序的元素是不相等的，即满足了上面的推论α。
用 {{a},{a,b}} 和 {{b},{b,a}} 的不同来对应
{a,b} 是告诉说要考虑哪两个元素，{a} 是说哪个元素放在第一个位置，这种表示方法只是为了区分集合中元素的“位置”
小结¶
这样的定义有序偶是合理的，(a,b)={{a},{a,b}}，(b,a)={{b},{b,a}}，(a,b) \(\neq\) (b,a) ，就用我们已知的集合语言定义了 ordered pair