二重积分变量代换

这篇文章有助于理解：知乎｜雅可比行列式超通俗讲解

公式

设变换 \(T\) : $$ \begin{cases} x=x(u,v)\ y=y(u,v) \end{cases} $$ 将 \(uv\) 平面上按段光滑曲线所围成的闭区域 \(\Delta\) 一一映射成 \(xy\) 平面上的闭区域 \(D\) ，\(x=x(u,v)\) ，\(y=y(u,v)\) 在 \(\Delta\) 上具有一阶连续偏导数，且 \(J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \neq 0\) ，\((u,v)\in \Delta\) ，则 $$ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{\Delta}f(x(u,v),y(u,v)) |J(u,v)|\mathrm{d}u\mathrm{d}v $$

理解

\(J(u,v)\) 因子

类比定积分的换元，我们需要把 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 项换为 \(\mathrm{d}u\mathrm{d}v\) ，而 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{d}x(u,v)\mathrm{d}y(u,v)\) ，所以我们现在求 \(\mathrm{d}x(u,v)\mathrm{d}y(u,v)\) 和 \(\mathrm{d}u\mathrm{d}v\) 的关系。

用最简单的矩形来找面积的关系，其他形状的分割可以看作无数矩形的和。

积分区间

在极坐标变换 \(\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}\) 下，本来我们需要在 \(r\theta\) 坐标系去找积分区间，但是由于在直角坐标系下也很容易看出某点 \((x_0,y_0)\) 对应的 \((r_0,\theta_0)\) ，所以我们直接写出 \(\Delta\) 。

应用

Euler-Poisson 积分

\(\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)

证明见这篇文章：博客园｜关于Euler-Poisson积分的几种解法

伟大的欧拉/泊松积分，指示了 \(e\) 和 \(\pi\) 的关系