机械振动&机械波｜复习¶

机械振动¶

简谐振动¶

若 \(F = -kx\)，令 \(\frac{k}{m} = \omega^2\)，则:

\[ x = A\cos(\omega t + \varphi_0) \]

复数形式: \(x = A\mathrm{e}^{i(\omega t + \phi_0)}\)
\(\omega\) 称为振动的角频率

单摆: 回复力 \(F = mg \sin{\theta} = mg \frac{x}{l} \Rightarrow \omega^2 = \frac{g}{l}\)

简谐振动的能量: \(E = E_p + E_k = \frac{1}{2}kA^2\) (记忆: 位移最大处的能量)

阻尼振动¶

阻力 \(f = -\gamma \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)，\(\gamma\) 为阻力系数，令 \(\frac{k}{m}=\omega_0^2,\frac{\gamma}{m} = 2\delta\)，则:

\[ x = A_0 \mathrm{e}^{-\delta t} \cos{(\omega't + \phi_0')} \]

其中，\(\omega' = \sqrt{\omega_0^2-\delta^2}\)

受迫振动¶

物体在周期性外力 (\(F = F_0 \cos \omega_d t\)) 作用下发生的振动为受迫振动

初期，看作阻尼振动和驱动的 合成，随后阻尼振动减弱，只考虑驱动力

特征:

角频率是驱动力的角频率，而不是振子的固有角频率
振幅依赖于振子的性质、驱动力的特征，而与初态无关

共振¶

位移共振:

驱动力的幅值一定时，受迫振动稳定后的振幅与驱动力的 \(w_d\) 有关

当驱动力的角频率为 \(\omega_{共振} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\delta^2}\) 时，达到最大振幅

速度共振:

当驱动力的频率为 \(\omega_{共振} = \omega_0\) 时，速度幅值极大

简谐振动的合成¶

旋转振幅矢量法

不同频率振动的合成 (假设振幅和初相相等):

\(x = A \cos(\omega_1 t + \phi_{0})+A \cos(\omega_2 t + \phi_{0}) = 2A\cos(\frac{\omega_1 t + \omega_2 t}{2}+ \phi_0)\cos(\frac{\omega_1 t- \omega_2 t}{2})\)

可视作振幅变化的简谐振动

机械波¶

波函数¶

波在不同介质中传播时，频率保持不变

假定 \(O\) 点处质元的振动方程: \(y_0(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)\)，波沿 \(x\) 轴正方向传播

则距离 \(x\) 处的 \(P\) 点: \(y(x,t) = A\cos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0]\)

\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) 为角波数，又称为空间角频率

角频率是 \(\omega\)

波动方程¶

\[ \frac{\partial ^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{u^2}\frac{\partial ^2 y}{\partial t^2} \]

波的能量与波的强度¶

感觉质元是在 \(x\) 坐标对应上去的线元

质元的能量:

介质中任一质元的动能和势能是同步变化的，\(\Delta E_k = \Delta E_p\)
质元机械能 \(\Delta E\) 随时间变化，波动过程是能量的传播过程
质元的机械能 \(\Delta E=\Delta x \rho_l \omega^2 A^2 \sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0]\) (\(\rho_l\) 是弦线线密度)

波的能量密度 \(w\): 单位体积的波的能量

\[ w =\frac{\Delta E}{S \Delta x} = \rho \omega^2 A^2 \sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+ \phi_0] \]

平均能量密度 \(\bar{w}\): 波的能量密度在一个周期的平均值

\[ \bar{w} = \frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2 \]

能流: 单位时间通过介质中某面积的能量

平均能流: 一个周期的平均值

\[ \bar{P} = \bar{w}uS \]

波的强度/平均能流密度: 通过与波传播方向垂直的 单位面积 的平均能流

\[ I = \bar{w}u = \frac{1}{2}\rho u A^2 \omega^2 = \frac{1}{2}Z \omega^2 A^2 \]

其中，\(Z = \rho u\) 称为介质的特性阻抗

可以推导: 球面简谐波的振幅和离开波源的距离成反比

惠更斯原理¶

惠更斯原理: 在波的传播过程中, 波阵面 (波前) 上的每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面

波的干涉¶

两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的简谐波叠加，形成干涉

由 \(I \propto A^2\)，则 \(I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\phi\)

若 \(I_1 = I_2\): \(I = 4I_1\cos^2\frac{\Delta \phi}{2}\)

驻波: 两波相向而行，有的位置始终“不振”，称为波节

沿 \(x\) 正向的波: \(y_1 = A \cos \omega(t-\frac{x}{u})\)
沿 \(x\) 负向的波: \(y_2 = A \cos \omega(t+\frac{x}{u})\)
合成: \(y = 2A \cos\frac{wx}{u}\cos \omega t\)
各点在振幅不同地振动

当波从波疏介质传播到波密介质并在分界面发生反射时，会产生 半波损失

多普勒效应¶

波源不动，观察者 \(v_0\) 动:

\[ \nu = \frac{u + v_0}{u} \nu_0 \]

观察者不动，波源 \(v_s\) 动:

\[ \nu = \frac{u}{u-v_s} \nu_0 \]

同时动:

\[ \nu = \frac{u+v_0}{u-v_s}\nu_0 \]