力学｜复习

力与动量

\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{w} \times \boldsymbol{r}\)

惯性力: \(\boldsymbol{F}_i=mw^2\boldsymbol{R}+2m\boldsymbol{v}_r\times\boldsymbol{w}\)

力矩与角动量

单个质点

角动量: \(\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v}\) ，与参考点的选取有关

力矩: \(\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}\)

角动量变化定理: \(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{M}\) ，\(\boldsymbol{M}\mathrm{d}t\) 称为角冲量

质点组

一对内力角冲量之和为 \(0\)

角动量变化定理: \(\mathrm{d}\boldsymbol{L}=(\sum{\boldsymbol{M}_i})\mathrm{d}t\) ，\(\sum{\boldsymbol{M}_i}\) 是合外力矩

合外力为 \(0\) 时，合外力矩与参考系无关

质心力学

质心定义（最根本）: \(\boldsymbol{r}_c=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2+...+m_n\boldsymbol{r}_n}{m_1+m_2+...+m_n}\)

质心动量 \(=\) 质点组总动量，即 \(M\boldsymbol{v}_c=\sum m_iv_i\) ，从 \(\boldsymbol{v}_c=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}_c}{\mathrm{d}t}\) 导出

质点组总动能 \(=\) 质心动能 \(+\) 相对质心动能

刚体力学

我们用力矩和角动量描述刚体的运动性质

运动学观点

刚体角速度唯一

每个瞬间刚体都可看作在绕某一轴旋转

定轴转动惯量: \(I=\sum{\Delta m_i R_i^2}\)

• 平行轴定理: \(I=I_c+md^2\)
• \(I\) 为绕任意轴的转动惯量，\(d\) 为到质心轴的距离
• 薄板正交轴定理: 薄板平面为 \(xy\) ，则 \(I_z=I_x+I_y\)

刚体在 \(z\) 轴（即转轴方向）上的角动量为 \(\boldsymbol{L}_z=I\boldsymbol{w}\)

• 由于角动量与参考点的选择有关，所以研究刚体在整个空间上的角动量具有随机性；但沿转轴方向的角动量很好确定，可以定量研究

\(\boldsymbol{F}\) 和 \(r\) 在 \(xy\) 面上才会对刚体的 \(\boldsymbol{L}_z\) 有影响，且有 \(\boldsymbol{M}_{外z}=I_z \boldsymbol{\beta}_z\) （ \(\boldsymbol{\beta}_z\) 为角加速度）

• 直观上就是作用在平面的力使圆盘绕轴转动

能量观点

定轴转动的转动动能: \(E_k=\frac{1}{2}Iw^2\)

力矩的功 \(\mathrm dA_F=M_z\mathrm d\varphi\) （ \(M_z\) 是力矩大小， \(\varphi\) 是转过的角）

• 由力做功导出，但是用力矩描述

由质心力学的运动定理，\(A_{外}=\Delta E_{kc}+\Delta(\frac{1}{2}I_cw^2)\)