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笔记｜函数

基本概念

部分函数: \(f \subseteq X \times Y\)，若 \(\langle x, y_1 \rangle \in f\) 且 \(\langle x, y_2 \rangle \in f\)，则 \(y_1=y_2\)，就称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的部分函数

用弯曲的箭头➡️表示，响尾蛇导弹

定义域 \(\mathrm{dom}(f) = \{x \in X|\exists y \in Y \space st \space y = f(x)\}\)

若 \(x \in \mathrm{dom}(f)\)，就称 \(f\) 在 \(x\) 处有定义，记为 \(f(x) \downarrow\)

值域 \(\mathrm{ran}(f) = \{y \in Y|\exists x \in X \space st \space y = f(x)\}\)

全函数/函数: \(\mathrm{dom}(f)=X\)，记为 \(f:X\rightarrow Y\)

全函数处处有定义

限制:

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像: \(A \subseteq X,f[A] = \{y|\exists x \in A \space st \space y = f(x)\}\)，称 \(f[A]\) 为 \(A\) 在 \(f\) 下的像

即 \(f[A] = \{f(a_1), f(a_2), \cdots\}\)

源像: \(B \subseteq Y,f^{-1}[B] = \{x|\exists y \in B \space st \space y = f(x)\}\)，称 \(f^{-1}[B]\) 为 \(B\) 在 \(f\) 下的源像

定理 若 \(A \subseteq \mathrm{dom}(f)\)，则 \(A \subseteq f^{-1}[f(A)]\)

证: \(\forall x \in A \Rightarrow f(x) \in f[A] \Rightarrow x \in f^{-1}[f[A]]\)

回过来可能会映射到更多 \(x\)

定理 若 \(B \subseteq \mathrm{ran}(f)\)，则 \(B = f[f^{-1}[B]]\)

定理

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证: (1)

任取 \(y \in f[\cup \mathcal{A}]\)，……

证 \(A \subseteq \cup \mathcal{A} \Rightarrow f[A] \subseteq f[\cup \mathcal{A}]\)

一半元素分析，一半集合的运算

函数的复合

复合

部分函数的复合:

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我们要证的是复合关系是"函数"。遵循几百年的函数写法，复合函数记为 \(g \circ f\)

函数的复合:

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定理

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证: 证 \(\langle x, g(f(x))\rangle \in g \circ f\)

定义域与值域

🌟🌟🌟🌟🌟

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运算性质

恒等函数: \(X\) 上的恒等关系 \(I_X = \{\langle x,x \rangle\ | x \in X\}\) 为 \(X\) 到 \(X\) 的恒等函数

定理 函数 \(f:X \rightarrow Y\)，则 \(f \circ I_X = I_Y \circ f = f\)

证: \(\langle x, y \rangle \in f \iff \langle x,y \rangle \in f \wedge \langle x,x \rangle \in I_X \iff \langle x,y \rangle \in f \circ I_X\)

定理

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函数的性质

定义 满射、单射、双射:

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定理 设 \(f:X \rightarrow Y\)，\(g: Y \rightarrow Z\)

  1. 若 \(g \circ f\) 是满射，则 \(g\) 是满射
  2. 若 \(g \circ f\) 是单射，则 \(f\) 是单射
  3. 若 \(g \circ f\) 是双射，则 \(g\) 是满射且 \(f\) 是单射

证: \(g \circ f\) 满射 \(\iff g[\mathrm{ran}(f)] =\mathrm{ran}(g\circ f)=Z\)，又 \(g[\mathrm{ran}(f)] \subseteq g(Y) = \mathrm{ran}(g)\)，则 \(Z \subseteq \mathrm{ran}(g)\)，进而 \(\mathrm{ran}(g) = Z\)

左满右单

逆函数

左逆、右逆、逆

定义 \(f: X \rightarrow Y\)

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左逆、右逆和逆不一定存在，存在也不一定唯一

存在性

定理 \(X \neq \varnothing\)，则 \(f:X \rightarrow Y\) 为左可逆的 \(\iff f\) 为单射

证:

若 \(f\) 左可逆，则 \(\exists g\) 使得 \(g \circ f = I_X \Rightarrow f\) 是单射

若 \(f\) 是单射，又 \(\exists a \in X\)，取 \(g = \{\langle f(x),x\rangle|x \in X\} \cup(Y - \mathrm{ran}(f))\times \{a\}\)，则 \((g \circ f) (x)=g(f(x))=x\)

定理 \(f:X \rightarrow Y\) 为右可逆的 \(\iff f\) 为满射

证:

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定理 若 \(f:X\rightarrow Y\) 既是左可逆的，又是右可逆的，则 \(f\) 是可逆的，且 \(f\) 的左逆和右逆都等于 \(f\) 的唯一逆

证: 左可逆和右可逆 \(\Rightarrow\) \(\exists g_1, g_2\) 满足 \(g_1 \circ f = I_X, f \circ g_2 = I_Y\)，\(g_1 = g_1 \circ I_Y = g_1 \circ (f \circ g_2) = I_X \circ g_2 = g_2\)，则 \(g_1 = g_2\) 是 \(f\) 的逆。同理可证唯一性

\(f\) 的逆函数记作 \(f^{-1}\)

定理 \(f: X \rightarrow Y\)，则下列条件等价:

  1. \(f\) 是双射
  2. \(f\) 既是左可逆的，又是右可逆的
  3. \(f\) 是可逆的
  4. \(f\) 的逆关系 \(f^{-1}\) 即为 \(f\) 的逆函数

集合的特征函数

特征函数: \(U\) 为全集，\(A \subseteq U\)，定义 \(\chi_A: U \rightarrow \{0,1\}\)，

\[ \chi_A(x) = \begin{cases} 1, & \text{} x \in A\\ 0, & \text{} x \notin A \end{cases} \]

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利用性质(5)，我们可以通过证明两个集合的特征函数相等，进而两集合相等