自然数和归纳法

2024/11/28

集合的后继

集合 \(A\) 的后继 \(A^+\) 定义为: \(A^+ = A \cup \{A\}\)

理解

0=∅

1={∅}

2={∅，{∅}}

3={∅，{∅}，{∅，{∅}}}

4={∅，{∅}，{∅，{∅}}，{∅，{∅}，{∅，{∅}}}}

0, 也是空集, 里面什么记号也没有

对于不为0的每一个集合, 每个集合内包含前面集合的所有元素, 还多了一个元素

对于每一个集合, 其中的元素个数都恰好等于其对应的自然数, 我们把这样集合元素的个数叫做集合的 势

如果A比B小, A就是B的子集

总而言之, 自然数就是集合, 不仅整个自然数是集合, 而且每一个自然数都是一个集合

自然数系统

N的归纳定义

(1) \(0 \in \mathbb{N}\)

(2) 若 \(n \in \mathbb{N}\), 则 \(n^{+} \in \mathbb{N}\)

(3) 若 \(\mathbb{S}\) 满足性质(1)(2), 则 \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{S}\)

定义 <

若 \(m,n \in N\) 使 \(m \in n\)，则称 \(m\) 小于 \(n\)，记为 \(m <n\)

定义加法与乘法

对任意的 \(n,m \in N\)，令

1. \(m+0 = m, m \cdot 0 = 0\)
2. \(m + n^+ = (m+n)^+, m \cdot n^+ = m \cdot n + m\)

可以证明，这样得到的自然数系统 \(<N, +, \cdot >\) 满足皮亚诺公理

第一归纳法

记 \(\overline{N}_{n_0} = \{n_0, n_0 + 1, \cdots\}\)

设 \(n_0 \in N\)，\(P(n)\) 是自然数集合上的谓词，若:

1. \(P(n_0)\) 真
2. 对 \(\forall n \in \overline{N}_{n_0}\)，若 \(P(n)\) 真，则 \(P(n^+)\) 也真

则对 \(\forall n \in \overline{N}_{n_0}\)，\(P(n)\) 皆真

证明:

令 \(S = \{n | n \in N \wedge P(n + n_0)为真\}\)，易得 \(S \subseteq N\)，又

1. \(0 \in N\) 且 \(P(n_0)\) 为真，所以 \(0 \in S\)
2. 若 \(n \in S\)，则 \(n \in N \wedge P(n + n_0)\) 为真。又 \(n_0 + n^+ = (n_0 + n)^+\)，则 \(P(n_0 + n^+)\) 为真，所以 \(n^+ \in S\)

\(S\) 也满足归纳条件，故 \(S = N\)，进而 \(P(n)\) 皆真

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Reference

博客园｜自然数是什么?